Как решить Как правильно писать: заодним или за одним? Слитно или раздельно? Почему?.

Правильно в этом случае раздельно «за одним». Предлоги пишутся раздельно. Здесь «за» предлог и «одним» числительное. Проверить написание можно возможностью вставки между предлогом и существительным, числительным, глаголом, прилагательным дополнительного слова. В нашем случае, например, так: «за ним одним».
Несколько иной случай слово «заодно». Это уже наречие и здесь написание слитное.