Как это решить Как правильно пишется: "босоножки" или "басаножки"?.

Ну, думаю, не такое уж трудное задание.Босоножки - фактически это обувь на босые ноги девочки или мальчика.Слово, конечно, сложное, состоит из двух корней. Бос и нож. Для проверки первого корня подводим слово под ударение вернее находим однокоренные слова и выбираем то слово, которое в ударной позиции. Мальчик бОс, здесь ударение падает на -о-, второй корень проверить тоже не трудно, от слова нога- нОги -в ударной позиции. Здесь в корне идет чередование согласных г- ж: нога-ножки -ножек - для проверки оглушенного ж. -О- традиционно является соединительным гласным между двумя корнями,так что слово проверили.
Правильно пишется - БОСОНОЖКИ.
                                                                              

Данное существительное обозначающее разновидность летней обуви образовано путем слияния двух слов "босые" + "ножки" с помощью соединительной гласной.
В первом корне мы легко можем проверить интересующую нас гласную подобрав проверочное слово "босой". Правописание второй гласной регулирует правило, согласно которому если основа оканчивается на твердый согласный (как в нашем случае), то следует писать соединительную "о". Поэтому правильно пишется ― "босоножки".
Составим пару предложений, с существительным босоножки:
Мимо нас пробежала девочка в красном платьице и оранжевых босоножках. Возле входной двери стояли ботинки, туфли и босоножки.

Оба составных данного сложного существительного, легко проверяются на ударные гласные. Эта обувь одевается на босые ножки, позволяющие чувствовать себя, что ты- не босой, вот и вся проверка, отметающая сомнения в написании- босоножки и никак иначе...