Как решить Как правильно пишется "импонировать" или "эмпонировать"? Почему?.

Правильно писать (и говорить, естественно) -- импонировать.
Объяснение такого правописания объясняется иноязычным происхождением этого глагола.
Из латинского языка глагол "imponere" со значением "вкладывать"  пришел  в немецкий язык, несколько изменившись в соответствии с немецким словообразованием, там появилось слово "imponieren".
Нашим  русским языком это слово и заимствовано из немецкого языка.
Чаще всего слова иноязычного происхождения воспроизводятся в заимствующем языке простым калькированием, буквально переписыванием по буковке слова из языка-оригинала.
Так и здесь -- первая часть слова "импонир-" скалькирована, ну а суффиксы и окончания присоединены в соответствии с русской орфографией. Получился употребляемый нами глагол импонировать, с первой гласной "и".
Подробней о происхождении этого глагола в этом ответе.
                                                                              

Данная языковая единица имеет иностранное происхождение. Подобные слова при написании их кириллицей должны наиболее точно воспроизводить звуковой облик лексем на языке-источнике и при этом учитывать его морфологическую структуру. Следует оговорится, что данный вопрос в русской орфографии недостаточно проработан - каждый конкретный случай нужно рассматривать в отдельности, и проверять написание по орфографическим словарям.
Но прежде чем отправляться за словарем рассмотрим этимологию слова или обратимся к языку-источнику.
Происходит от латинского слова imponere, что означает «вкладывать»
В русский же язык слово пришло из немецкого.
На языке-источнике сначала пишется "i". В русском языке ее наиболее точно воспроизводит буква "и". По-моему, данное объяснение орфограммы истинно.
Правильное написание слова: Импонировать.
Пример употребления в предложении:
Данная гипотеза в полной мере объясняет наблюдаемое явление, поэтому она мне импонирует.

Импонировать - это слово явно заимствованное и вопросов к его написанию, лично у меня, было несколько.
Во-первых, Импонировать или Эмпонировать. Покопавшись в истории этого вопроса, удалось выяснить, слово пришло к нам из Германии, немецкий вариант: imponieren (импонировать). Поэтому пишем ИМПОНИРОВАТЬ.
Во-вторых, импОнировать или импАнировать. Тут так же не удалось найти правило, позволяющее обьяснить написание. Ведь данный случай - непроверяемая безударная гласная в корне слова. Поэтому здесь поможет лишь орфографический словарь или банальное запоминание "как правильно".
Подводя итоги:
это все определение слова ИМПОНИРОВАТЬ.