Какие орфограммы к слову "установленный"?
Какие проверочные слова к правописанию слова "установленный"?
Какие правила русского языка применяем к слову "установленный"?

Обратимся вначале к  морфологическим признакам слова "установленный".
Слово "установленный" может являться как страдательным причастием прошедшего времени, так и отглагольным прилагательным. Эти части речи образованы от глагола  совершенного вида - что  сделать? - "установить".
Разберем слово "установленный" по морфемному составу: "установл-" - корень, "-енн-" - суффикс, "-ый" - окончание.
В слове "установленный" ударение на третьем слоге. Вторая и четвертые гласные стоят в слабой позиции, они безударные, и потому могут вызывать сомнение в их написании.  Также вопросы вызывает и сам суффикс "-енн-" с согласной "-н-". Следовательно, в слове "установленный" три орфограммы.
Глагол "устанавить", от которого образовано причастие, даёт нам право считать проверочными  словами для второй гласной "-а-" такие глаголы: "стань", "стать". Что касается гласной "-е-" и удвоенной согласной "-нн-" в суффиксе "-енн-", то онт пишутся в причастиях, образованных от глаголов совершенного вида на "-ить".
Поэтому пишем слово правильно: "установленный".
                                                                              

В этом слове орфограмма на безударную гласную в корне слова. УстАновленный -это страдательное причастие, безударную гласную проверяем глаголом стАть, встать, где эта гласная - ударная. суффикс енн от страдательного причастия прошедшего времени.

Согласно нормам современного русского языка указанное вами слово пишется только в следующем варианте "установленный". Писать данное слово следует столько через сдвоенное "н". Объясняется это следующим образом. В русском языке есть правило написания причастий, согласно которому сдвоенная "н" пишеться в тех причастиях которые написаны с приставкой. В нашем случае причастие "установленный" имея приставку "у", должно писаться только с суффиксом "енн" и никак иначе.