Как решить Как правильно пишется: пулемет Максим или пулемет Максима?.

Прежде всего Максим - это фамилия британо-американского оружейника.
Ха́йрем Сти́венс Ма́ксим (обратите внимание на ударение) в 1883 году изобрел станковый пулемет, который широко использовался в военных конфликтах конца 19 - начала 20 веков.
Во время Первой и Второй мировых войн российской и красной армией использовался пулемет Максима образца 1910 года. Он эксплуатировался вплоть до 1945 года.
Соответственно, правильно говорить и писать "пулемет Ма́ксима". В этом можно убедиться, посетив тульский оружейный музей, экспонаты там так и подписаны.