Как правильно пишется слово "(к)спеху"?

Правильно пишется - к спеху. Это словосочетание имеет разговорную стилистическую окраску и имеет значение "нет времени", "горит" (имеется ввиду сроки). В предложении оно, как правило, выполняет роль сказуемого и является предикативным наречием, образованным от предложно-падежной формы однокоренного существительного. Обычно наречия с предлогом-приставкой «к» пишутся слитно, например: поднять кверху. Тем не менее ряд наречий, образно говоря, еще «помнят» падежную форму производящего существительного и пишутся раздельно с предлогом «к»: сказать к месту, это мне к спеху.
                                                                              

Слово «спех» - имя существительное, мужского рода, - считается устаревшим.
С предлогом «к» - в дательном падеже существительное приняло устойчивую падежную форму и стало наречием, которое с этим предлогом пишется всегда раздельно – « к спеху».  В соответствии с грамматическими правилами  - существительное «спех», хотя оно и устаревшее, но  сохранило свои падежные формы.
Наречие чаще всего употребляется в частицей «не» - «не к спеху», что означает «не торопись», «успеется», «не горит».
Примеры предложений:
Мне не к спеху бежать на лекции в институт, - сегодня нет первой пары. Мария сказала, что ей не к спеху покупать новые сапоги.