Как решить Как правильно пишется "Выживать" или "Выжевать"�, какое правило?.

В данном случае вопрос о написании безударной гласной в слове.
Когда на гласной не стоит ударение, могут возникнуть сомнения в правильности вариантов написания, а хочется постараться и не делать ошибок.
В нашем случае мы будем подбирать проверочное слово и им станет то, в котором (однокоренном) этот слог будет под ударением.
Тогда подберем однокоренные слова: жив, живчик, живо.
Каждое из этих слов может служить проверочным словом и говорит нам, что правильно написать так: выживать.
Когда денег не хватает, приходится выживать на одном хлебе.
Выживать в условиях конкуренции могут не все, а только обладающие сильным характером люди.
                                                                              

В данном случае имеем безударную гласную в корне слова. Ударение в слове "выж*вать" падает на последний слог. Для того, чтобы определиться с тем, какую гласную использовать на месте сомнительной, подберем однокоренные слова, где она будет находиться в ударном положении: жизнь, жить, пожитки.
Видим, что под ударением пишется гласная "и", следовательно и в рассматриваемом слове следует употреблять именно её: выживать.
Теоретически можно рассматривать вариант, что использованный глагол представляет собой словоформу от инфинитива "жевать", т.е. измельчать во рту пищу путем смыкания и размыкания челюстей. Но употребление данного глагола в речи будет выглядеть, на мой взгляд, немного противоестественно: вариацию "выжевать и выплюнуть" и иже с нею предпочтительнее заменить более подходящей конструкцией типа "пожевать и выплюнуть" или аналогичными.

Безударная гласная в корне слова вызывает сомнения, я так понял.
Мне кажется проще, да и правильней подобрать однокоренные слова, в которых ударение будет падать на гласную в корне слова  таких слов несколько, например"жизнь", "жить".
Становится понятным что правильно писать "выживать" .

В данном случае нам нужно проверить безударную гласную в корне. Для этого нужно подобрать такие однокореные слова, где гласная будет под ударением. Для слова "выживать" подбираем проверочное слово "жить". Следовательно, правильно писать "выживать".

Тут всё очень просто, странно что вы задаёте такой вопрос, так как ещё в детских садиках "вдалбливают" всем это правило. А оно гласит:"ЖИ-ШИ пиши с буквой И"