Как решить Как правильно пишется: "закончу" или "закончю"?.

Слово закончу обозначает действие и отвечает на вопрос "что сделаю?", значит, является формой первого лица единственного числа будущего времени глагола совершенного вида закончить.
Чтобы узнать, как пишется: "грущу" или "грущю", нужно воспользоваться простым правилом:
После шипящих ч, ш, щ, ж пишутся гласные а, у, и, а не я, ю, ы.
Сочетания ча-ща пишутся с буквой а: кочан, роща;
Сочетания чу-щу пишутся с буквой у: жемчужина, прищур;
Сочетания жи-ши пишутся с буквой и: живописный, ширь.
Нужно запомнить слова-исключения французского происхождения, в которых пишется ю: парашют, жюри, брошюра, жюльен.
Можно сделать вывод, что в слове закончу после шипящей ч пишется гласная у.
                                                                              

Как-то за свою жизнь не встречал последовательное сочетание букв Ч и Ю в одном слове. Думаю, где-нибудь такое слово в русском языке каким-то образом и затесалось. Но общепризнанное правило - чу/щу - через "у". Туда же ча/ща через "а".

По правилам русскому языка 1 или 2 класса, нужно писать чу/щу через "у", а ча/за через "а"