Как решить Как правильно пишется: "заметили" или "заметели"?.

Глагол "замети(е?)ли" - это глагол  множественного числа, прошедшего времени.
Начальная (неопределенная) форма глагола - что сделать? - "заметить". Основа слова - "замети-" и "-ть" - глогольное окончание. Это глагол второго спряжения, - на "-ить" .
Вспомним правило образования глаголов прошедшего времени. Это правило гласит, что  к оснвове глагола в неопределенной форме следует добавляется  суффикс "-л-" - получаем глагол прошедшего времени - "заметил". Во множественно числе - "заметили".
Приведем примеры предложений с этим глаголом:
Преподаватель заметил ошибку в окончании слова,  и велел ученику ее исправить. Я не заметил, что на улице идет дождь.