Как писать:
по возвращении или по возвращению?
Поясните свой ответ.

Это предложное сочетание дано вне контекста, поэтому нужно говорить о двух ситуациях, когда в окончании пишется либо "-и", либо "-ю".
Слово оканчанивается на "-ию":  имя существительное с предлогом "по" употреблено в дательном падеже, напр., По его быстрому возвращению (по чему?) из театра можно догадаться, что спектакль явно не понравился.
В конце слова пишем "-ии", если  суще-е имеет форму предложного падежа и значение "после чего-то", равное деепричастию "возвратившись", напр., По возвращении /возвратившись/ из театра он выглядел разочарованным.