Как следует писать правильно "помягче", слитно или раздельно?

В данном случае вариант написания (да и произношения) лишь один, исключения подобрать невозможно.
Слово произошло от прилагательного "мягкий". С приставкой получилось наречие - "помягче" (по аналогии с полегче, посильнее, повыше и пр.).
Это слово - "помягче" - всегда пишется слитно. Это разговорный вариант наречия "мягче".
Когда Петр с Ниной выбирали диван, то искали модель помягче.
                                                                              

Вопрос о том, как правильно пишется слово помягче, слитно или раздельно - возникает из-за того, что некоторые относят приставку "по" к предлогам. Однако, такое мнение ошибочное. Это легко проверить если попытаться вставить между "по" и "мягче" любое слово без потери смысла фразы. Такой возможности у нас нет, поэтому в данном случае понимаем, что "по" является приставкой и пишется вместе (слитно).
Для примера:
Начальник, хоть и был рассержен, но мог говорить со своими подчинёнными помягче.

Помягче - это наречие. Мягче нет такого слова. Это слово пишем слитно всегда. Правильно будет помягче.
Мягкий - это прилагательное. Наречия образованные от прилагательного с помощью приставки всегда пишутся слитно.
Предложения со словом "помягче":
Как бы тебе помягче сказать?
Можно было бы с ним поговорить помягче.

Насколько я знаю, данное слово является наречием.
Есть одно правило написания наречий которым мы и воспользуемся. Звучит оно так: наречия, образованные от прилагательных с помощью приставки пишутся слитно, это как раз такое наречие.
Итак, правильно писать это слово слитно: помягче.

Что бы понять как писать данное слово, нам надо знать то, что перед нами наречие, да еще и то, которое образовано от прилагательного и приставочным способом образования слова, а такие наречия, всегда с приставками пишутся слитно, а потому верным вариантом является - помягче.

Это наречие (образованное от прилагательного) и правильный вариант написания только один.
Слово пишется слитно, то есть "помягче" и не иначе.
Пример, "она хотела  чтобы с ней начальник общался помягче".
Раздельный вариант написания, является ошибочным.

Слово "по_мягче" -  это наречие, а согласно правилу: "Наречия, образованные от прилагательных с помощью приставки всегда пишутся слитно", исключение составляет только приставка "не-", можно сделать вывод, что правильное написание следующее - помягче.