Вопрос, может быть, глупый, но всё же. Как правильно писать: разведАю или разведУю, отвечая на вопрос "(я) что сделаю?" и почему так, а не иначе?

Правильно: разведаю.
Из словаря: РАЗВЕДАТЬ, св. что 1. Разг. Расспрашивая, выяснить, разузнать. 2. Произвести разведку. <Разведывать,
Это глагол совершенного вида: Я (что сделаю?) разведаю, они разведают. Например: Давай я сам разведаю обо всем. Ты завтра пойдешь и  разведаешь, что к чему.
Здесь суффикс А сохраняется при спряжении глагола.
Но есть еще глагол несовершенного вида "разведывать" (указан в словаре), например: Они будут разведывать запасы нефти. У этого глагола сохраняется суффикс суффикс ЫВА при спряжении. Для этих двух глаголов получается видовая пара: разведать – разведывать.
Форма "разведую" некорректна, хотя здесь это трудно определяется на слух. Суффикс У появляется при спряжении глаголов с суффиксом ОВА: рис/ова/ть – рис/у/ю, ночевать – ночую, но: рассказ/ыва/ть – рассказ/ыва/ю. По этому правилу различаются суффиксы ОВА и ЫВА, сходные по произношению.
Примечание
Примерно так же ведут себя и другие приставочные глаголы несовершенного вида (выведыватЬ – выведываю, наведываться – наведываюсь), но надо запомнить три глагола с суффиксом ОВА (заведовать – заведую, проповедовать – проповедую, исповедовать – исповедую). При необходимости (в случае сомнений) следует обращаться к словарю и к Нацкорпусу (там много примеров из литературы).
                                                                              

Слово "развед(а/у)ю" является глаголом первого лица совершенного вида в единственном числе, образованным от глагола неопределенной формы (что сделать?) "разведать". В данном случае суффикс "а" сохраняется в глаголе первого лица (что сделаю?) "разведАю".
Я сейчас разведАю всю обстановку в лесу, а потом выскажу свое мнение.
Правда необходимо знать, что имеется в русском языке глагол уже несовершенного вида (что делаю?) "разведываю", у которого суффикс "ыва".

Конечно, вопрос не слишком трудный, даже, можно сказать, средней ординарности.Возьмем, этой же глагол в неопределенной форме, форме инфинитива: разведать. Можно сказать, что этот глагол образовался от глагола ведать, который относится к глаголам несовершенного вида с прибавлением приставки -при-. А теперь сморите кушать - кушаю, ведать- ведаю,разведать - разведаю.

Слово "разведа(у?)ю" - это глагол, стоящий в личной форме. А именно: первого лица, единственного числа, будущего времени. Глагол, от которого он образован - что сделать? - "разведать". Это глагл переходный, совершенного вида.
В производящем глаголе-инфинитиве "разведать" стоит суффикс "-а-", который сохраняется и в глаголе личной формы. Поэтому правильно пишется - что сделаю? - "разведаю".
Например, в предложении:
Я обязательно разведаю обстановку, и только потом начну действовать. Нельзя  путать с глаголом - что делать? - "разведывать", который является глаголом несовершенного вида. В этом глаголе имеется суффикс "-ыва", который пишется и в глаголе личной формы - что делаю? - "разведываю" (первое лицо, единственное число, настояещее время).