Нередко можно услышать, что в английском, немецком и французском языках фиксированный порядок слов, а в русском — свободный.
Верно ли это утверждение относительно русского языка? Свой ответ аргументируйте и подтвердите примерами.

У нас тоже есть свои правила в порядке слов. Нельзя, например, предлог писать после слова, к которому он относится.
А то получится как-то так: комнате в лежал большой кот.
То же правило можно к частице "не" применить.
Конечно, в русском языке можно существительное и определение в разных концах предложения поставить, и от этого смысл не потеряется: большой лежал в комнате кот. Но уже становится понятно, на что делает акцент автор. Но если добавить обстоятельство, то уже могут возникнуть проблемы.
"Рядом с диваном большой лежал в комнате кот> "Рядом большой лежал в комнате кот с диваном"
Судя по всему, некоторые словосочетания лучше не разделять между собой в предложении.
Конечно, в других языках более строгие правила положения частей предложений, но и в русском всё не предельно свободно.
Например, на сайте главред при проверке текста система ругает предложения, в которых нет в начале глагола. Т.е. сказать можно и с глаголом в конце предложения, а вот если писать для кого-то, то нужно подумать, не заставит ли такой порядок слов читателя скучать.
Если покопаться, то можно найти еще разные законы расстановки слов в предложении русского языка. Например, сложные союзы, соединяющие предложения, нельзя делить так, чтобы вторая их часть была в конце или середине предложения.
Потому я не пришёл сегодня, что автобус попал в аварию. >> Я не пришёл сегодня потому, попал автобус что в аварию.
                                                                              

В данном случае нужно говорить не о словах, а о членах предложения. Между этими понятиями есть существенная разница: только в составе предложения/словосоч�етания/ слово вступает в отношения с другими, приобретая синтаксическую функцию.
Да, в русском языке (и не только на современном этапе) порядок членов предложения относительно свободный. Это значит, что, например, сказуемое может находиться на любом месте вне зависимости от цели высказывания. При этом понять суть фразы помогает логическая интонация.
Простой пример. Возьмём повестовательное предложение - Я завтра  пойду в парк. В нём классический прямой порядок слов - подлежащее "я" стоит впереди сказуемого "пойду". Мы можем поменять место сказуемого, смысл от этого не изменится. Завтра пойду я в парк/В парк я завтра пойду/Пойду я завтра в парк. Смысл сказанного не изменился, предложение не поменяло своей характеристики по цели высказывания - не стало вопросительным. Кроме этого - варианты предложения не содержат грамматических ошибок, т.е. они построены верно. Разумеется, появились некоторые оттенки, связанные с логическим ударением, но это не меняет смысл фразы и не является ошибкой.
Подобное невозможно в немецком языке, посколько в простом повествовательном предложении сказуемое всегда занимает второе место. Если мы поставим его на первое, то фраза приобретёт вопросительный смысл. Ich gehe morgen in den Park/Gehe ich morgen in den Park?
А вот на вопрос "почему так?" ответить довольно сложно. Этими проблемами занимается типологическая лингвистика - раздел современного языкознания, изучающий типологию порядка слов/членов предложения. Всего в современных языках (изучено более 1370 языков) выделяется 8 разных типов. Русский язык относится к языкам с базовым порядком, т.е. к таким языкам, где при построении предложений одновременно сочетается прагматичность, естественность и грамматическая правильность/граммат�ичность, что даёт в результате наличие свободных вариантов формулирования фразы. Кстати, к таким  языкам относятся   английский, болгарский, латышский, украинский, финский.
Добавлю, что относительная свобода составляющих характерна для простых по составу предложений. В случае сложных предложений это действует гораздо реже, поскольку могут быть нарушены смысловые и грамматические связи.

Относительно свободный порядок слов в русских предложениях обеспечивает относительное обилие и разнообразие флексий (окончаний).