Северный ледовитый океан,
Северный Ледовитый Океан,
Северно-Ледовитый океан,
Северно-Ледовитый Океан.
Какой вариант правильный?
Почему?

Правильный вариант - первый из перечисленных.
Северный Ледовитый океан.
Слова "Северный Ледовитый" - это собственное название океана.
Также, как другие океаны называются "Тихий", "Атлантический", "Индийский" и "Южный".
И как имя собственное, эти два слова пишутся с большой буквы.
А слово "океан" - это не имя, это просто обозначение океана. Поэтому оно пишется с маленькой буквы.
Вот если бы океан был всего один на Земле, тогда слово "Океан" тоже писалось бы с большой буквы.
И, наконец, почему "Северный Ледовитый", а не "Северно-Ледовитый". Честно - я не знаю.
Как-то так сложилось, что в русском языке закрепилось именно такое название, а не другое.