Как правильно пишется: "по иностранному" или "по иностранному"?
"По иностранному" пишется слитно или раздельно?
"По-иностранному" пишется через дефис или раздельно?
"По-иностранному языку" или "по иностранному языку" - как правильно?
Как пишется - "по иностранному" или "по-иностранному" языку?

По иностранному языку у меня за четвёртую четверть тройка.
На этикетке моего нового платья все написано по-иностранному.
Из этого примера видно, что написание этого слова возможно раздельно и через дефис.
В первом предложении «по иностранному» это прилагательное с предлогом.
Языку какому ? - иностранному.
Во втором предложении «по-иностранному» является наречием. Написано как? - по-иностранному. Наречие имеет предлог-приставку «по» и суффикс «ому».
По правилу орфографии такие наречия правильно писать через дефис.
                                                                              

Слово "по*иностранному" может быть написано по-разному, в зависимости от того, к какой части речи оно имеет отношение. Слово может относиться к существительным с предлогом, отвечая на вопрос "по чему?" Тогда оно будет написано раздельно, к тому же в предложении должно присутствовать зависимое слово. Например: иду по иностранному ковру. Ковру зависимое слово.
Если же слово является наречием, которое отвечает на вопрос "как?", то оно будет написано с приставкой по- через дефис. Согласно правилу, которое существует в русском языке, наречия с приставкой по- пишутся через дефис если оканчивается на -ому, -ему, -их и -и. Например: говорил по-иностранному. 

пишется через дефис.
это наречие образованно при помощи приставки (по) поэтому пишем через - дефис