Как решить Как правильно - завкафедры или завкафедрой?.

               Правильно: завкафедрой (заведующий кафедрой, управление Т.п.). Это слово можно проверить на сайте Грамота.ру в Русском орфографическом словаре. Там же указано: завкафедрой, нескл., м. и ж.
Так образуются и пишутся сложносокращенные слова. Стиль у этого слова скорее разговорный.
Но есть еще вариант зав. кафедрой, но это уже тема графического сокращения слов в тексте. Такой вариант подходит для документации.

               Правильная форма будет написать "завкафедрой".