В документе Ворд слово "завороженно" подчеркивается красным, неужели правильно писать "заворожено"? Почему? Или все-таки надо писать с двумя Н?
Пример:
  Я завороженно поглядываю на огонь.
Как в этом случае писать слово? С двумя Н или с одной?

Здесь правильный вариант: заворожённо. С двумя -НН.
Заворожённо является наречием, образованным от глагола заворожить.
Для сравнения:
Здесь наречие (в роли обстоятельства), две буквы -НН.
НО
Здесь краткое причастие в роли сказуемого, одна буква -Н.
                                                                              

Слово "завороже(н/нн)о" в предложении может быть как наречием, так и кратким причастием и чтобы понять, как пишется "заворожеНо" или "заворожеННо" - обратимся к правилам русского языка.
Если в предложении слово "завороже(н/нн)о" является наречием, то пишется с удвоенной "нн" - (как?) заворожеННо.
Николай заворожеННо наблюдал за парящим над озером орлом.
Если в предложении слово "завороже(н/нн)о" является кратким причастием, то пишется с одной "н" - (что сделано?) "заворожеНо".
Чудище было заворожеНо надвигающимся солнечным затмением.

В приведённом Вами примере: "Я завороженно поглядываю на огонь" слово "завороженно" выступает в роли наречия образа действия. Оно отвечает на вопрос  - как? или каким образом? и пишется с двумя "-нн-" в суффиксе. Обратим внимание, что слово пишется с суффиксом "-ённ-" - "заворожённо", с ударением на гласной "-ё-" - так рекомендуют толковые словари.
Слово "заворожено" может также являться кратким страдательным причастием, прошедшего времени и отвечать на вопрос - что сделано? Краткое причастие пишется с одним "-н-" в суффиксе "-ен-" - "заворожено". Ударение ставим на третьем слоге. Оба слова: и наречие, и краткое причастие образованы от полного причастия "заворожённый". А оно, в свою очередь, от глагола "заворожить".
Пример предложения:
Всё было таинственно и будто заворожено.

Правильный ответ будет заворожённо. Так как это наречие с такой схемой образования  : заворожить-заворожённый-заворожённо.