Будучи - это какая часть речи?

Давайте рассмотрим пример: Даже будучи влюбленным, он никогда не забывал позвонить родителям и узнать об их самочувствии.
И заменим слово "будучи" синонимичной конструкцией: находясь в состоянии влюбленности (что делая?), он никогда не забывал ... (и далее - по тексту).
__
Теперь становится очевидно, что тот же вопрос (что делая?) можно задать и к слову "будучи", что и следовало ожидать, поскольку перед нами - деепричастие несовершенного вида, которое стоит в настоящем времени.

Слово «будучи» - это глагол «быть»  в форме деепричастия настоящего времени, который выступает в  предложении в функции связки. Поскольку связка не является самостоятельный членом предложения, то вопрос ставится ко всему  сочетанию со связкой:
1) Будучи здоровым, он не беспокоился...
1а) Будучи  каким, он не беспокоился...?
2) Будучи здоровым человеком, он не беспокоился...
2а) Будучи каким человеком, он не беспокоился...?