Как это решить Стоп кран или четверть финал, что пишется вместе и почему?.

Для начала определимся, что оба этих слова относятся к сложным существительным. А в русском языке "сложный" почти всегда означает, что правописание слова с таким определением связано с неизбежными сложностями. В данном случае это действительно так. Правописание обоих существительных лучше всего запомнить, хотя для них существуют и свои правила. Немного легче с существительным "стоп-кран". Его правописание подчиняется правилу
И если правило подзабылось, то можно вспомнить его по другим словам-примерам, образованным тем же способом: кран-балка, пистолет-пулемет, вакуум-насос и др.
А вот для слова "четвертьфинал" пришлось даже придумать дополнение в правило
И в этом случае правило нужно только запомнить, потому что слово "четвертьфинал" является единственным представителем этой подгруппы сложных существительных.
Ответ: стоп-кран, четвертьфинал