Помогите решить Как правильно, развивающийся или развевающийся? Какое правило написания?.

Как это часто здесь бывает, слова даны вне контекста. Жаль.
Это два разных слова, а точнее - две словоформы двух разных глаголов.
Употребляются они в зависимости от лексического значения.
Развевающийся - действительное причастие настоящего времени от глагола "развеваться", он, в свою очередь, от "развевать", исходное слово - веять. В нём гласный корня ударный - е, в однокоренных родственных словах в корне он сохраняется, напр., развевающийся на ветру флаг.
Развивающийся - действительное причастие настоящего времени от глагола "развиваться", вся словообразовательная цепочка - развивать-развить, если значение "сплетать в единое целое", исходный глагол "вить".
Следовательно, причастие может иметь два значения.
При этом в обоих случаях гласный корня "и" сохраняется, напр., развивающийся организм, развивающийся (т.е. раскручивающийся, некогда скрученный) свиток.
                                                                              

Слово "развИвающийся" произошло от слова "развитие".
Слово "развЕвающийся" произошло от слова "веет".
Развивающийся организм ребёнка наиболее подвержен различным инфекциям.
Развевающийся флаг на ветру выглядел впечатляюще.

И то и другое написание имеют место быть.
Это два совершенно разных слова с разными значениями.
Слово "развивающийся" - это от слова "развиваться", "развитие", то есть совершенствоваться, идти вперёд, становиться сложнее, мудрее, образованнее.
Поэтому во втором слоге пишем главную "и", то есть развИваться.
Слово "развевающийся" происходит от глагола "веять" (на ветру, например). Поэтому "развЕвающийся" нужно писать с буквой "е".
Маленький ребенок должен развиваться с первых дней жизни, поэтому с детства ему нужно читать книжки.
Белье развевается на на открытом балконе на сильном холодном ветру.

Слова "развивающийся" и "развевающийся" являются причастиями настоящего времени. Оба эти слова написаны правильно, нужно лишь знать смысл слова, чтобы не ошибиться в его написании. Например: Перед взором путешественников предстал развевающийся на ветру флаг. Подбираем проверочное слово. Ветер что делает? Веет. В этом случае в слове "развевающийся" ставим букву "е".
А вот ещё одно предложение: Перед преподавателем стоял очень умный мальчик, развивающийся не по годам. Или: Мужчина не знал о развивающимся в его организме заболевании. Здесь проверочным  словом будет "развитие", и тогда в слове ставим букву "и".

В вопросе указано два причастия, оба они верные, но для того, чтобы выбрать верный вариант написания, необходимо понимать значение каждого из них.
Слово "развевающийся" образовано от глагола "развеваться" (развевать - веять). 
На ветру развевающийся флаг выглядел величественно.
Слово "развивающийся" происходит от глагола "развиваться" (развитие - вить).
Детский развивающийся организм наиболее подвержен различным инфекциям.
Развивающийся организм кролика учёные изучали в лаборатории.
Поэтому, прежде чем написать слово, стоит понимать в каком именно контексте оно используется на письме, в тексте.

Это безударные гласные в корне слова. Проверяются изменением формы или подбором однокоренного слова, в котором гласная будет под ударением.
Следовательно, чтобы определить как писать правильно, надо подобрать однокоренные слова.
Это могут быть: "развивающийся" - "развитие" или "развевающийся" - "веет" (подробнее еще тут). Так что оба слова существуют в русском языке, но какое именно из них будет правильным, надо смотреть по значению. Из практики чаще всего пишется все же "развевающийся". Например: "развевающиеся волосы", "развевающийся на ветру флаг" и т.д.

Конечно, вопрос довольно интересный и заключает в себе некую загадку, подтекст, двойное дно, ну или как кому удобнее считать.Ведь часто из-за одной единственной буквы меняется весь смысл сказанного или написанного. Таковы языковые особенности.
Мне кажется, что грамотному человеку совершенно очевидно, что это два разных слова.
Развивающийся, значит получающий развитие.
Развевающийся, значит значит колышущийся на ветру.
Конечно, я могу ошибаться, но что-то мне подсказывает, что всё именно так и есть.
Примеры предложений.
Василий был развивающимся молодым человеком.
Василий увидел развевающийся на трибунах флаг Динамо (Киев).

Право на существование имеют оба эти слова, и оба они написаны без ошибок. Просто они разные, образованы от разных глаголов и имеют совершенно разное значение. Чтобы понимать, какую букву писать (речь идет о второй гласной букве) - нужно просто понимать (из контекста), с каким словом (с каким значением) мы имеем дело.
Есть слово "развИвающийся" от слова "развитие", оно пишется, естественно, через "и" и слово "развитие" как раз является проверочным для него. Пример:
В развивающихся странах уровень жизни пока еще не очень высок.
А есть слово "развевающийся", проверочное слово "веет". Приведем пример:
Развевающийся голубенький шарфик выглядел очень красиво и подходил к ее голубым глазам.

И то и другое слово правильное, это возвратное причастие настоящего времени.
Только смысл у них разный.
РазвИвайщийся может быть например какой то процесс в организме, от слова развИтие.
РазвЕвающийся может быть флаг или что то подобное.

Можно написать "развивающий", а можно "развевающий" оба варианта имеют право на жизнь, то есть присутствуют в русском языке.
Ориентироваться лучше по контексту.
Значение у этих слов разное, "развивающий", это развитие от этого слова.
Развевающий от слова "веять" вот отсюда и отталкивайтесь.