Как пишется слово?
Мягкий знак пишем или нет?
Какое правило русского языка применимо в данном случае?

Слова "боротся" нет в принципе! В таких глаголах действует правило: если слово отвечает на вопрос "что делать?", значит пишется Ь между Т и С. И только, если глагол отвечает на вопрос "что делает?" буквы Ь нет.
                                                                              

Правильность написания мягкого знака в подобного рода словах (глаголах) лично я всегда проверяю путем постановки вопросов: "Что делать?", "Что сделать?" или "Что делает?","Что сделает?".
Если согласующийся вопрос с проверяемым словом заканчивается на мягкий знак, значит и сам глагол тоже нужно писать с мягким знаком.
С нашим проверяемым словом согласуется вопрос "Что делать?". Вопрос заканчивается на мягкий знак. Значит правильным вариантом написания будет слово "бороться", то есть с мягким знаком.
Это правило русского языка всегда работает безошибочно и позволяет быстро проверить нужный глагол.

Здравствуйте!
Это зависит от того, в каком смысле используется слово. Для этого надо поставить вопрос "Что делать?" или "Что сделать?"
Что делать? - бороться. Пишем с мягким знаком.
В данном случае,  слова "боротся" не существует вообще.