Что означает фраза "в частном порядке"?
Каков смысл словосочетания "в частном порядке"?

Для того, чтобы понять, что такое "в частном порядке", попробуем разделить фразеологизм на составляющие.
По определению, "частный" подразумевает значение "не общий" (в прямом и переносном смыслах), "отдельный". Но также имеет значение "подробности чего-либо целого" (малый академический словарь).
У слова "порядок" существует сразу несколько значений. В связке нас интересует следующее: "последовательность, правила, по котором совершается что-либо".
Получаем, что словосочетание "в частном порядке" обозначает, "персонально, на индивидуальных условиях, по личной договоренности, нетипично".
Например:
Он занимался с учителем после уроков в частном порядке.Представитель конгресса решил обсудить данный вопрос в частном порядке.                                                                              

Синонимы :
наедине, в одиночестве, один на один
лично, отдельно, в тайне
конфиденциально, при закрытых дверях
частным образом, с глазу на глаз
за закрытыми дверями
Учительница может давать уроки частным порядком.
Это значит - в кулуарах, неофициально.
Здесь имеется а виду не критиковать прилюдно.
Те., при личной встрече вдвоём.
Те., к деятелю может обратиться гражданин лично как частное лицо.
Отдельно, вне общих правил.

Многие фразеологизмы  настолько для нас легки, что мы порой  даже не задумываемся над точным их значением, а просто произносим по ситуации для  составления общей картины. Либо просто копируем услышанную фразу для полноты предложения.
Фраза "в частном порядке" является  антонином другого фразеологизма: в  общем  порядке (по умолчанию).  Последний означает одинаковое положение дел для всех и всего: как идет, так и идет.
Соответственно, в частном порядке - это отдельные , индивидуальные шаги, которые рассматриваются в конкретной ситуации с применением конкретных решений только в конкретном случае, которые отличаются от общих заведенных правил, норм, порядков и устоев, а также отличаются от других частных порядков. То есть, фраза носит смысл: применение норм только в одном этом, частном, случае.   
Например.  На работе у нас работают пять девушек. Одна из них мне нравится. Значит, со всеми я здороваюсь  официально, а с ней одной - в частном порядке -  с комплиментами, дабы поднять ей настроение.

Частный - это не общий, можно сказать, что индивидуальный, отдельный, каждому свой. Вот отсюда и частная собственность, это то, что принадлежит отдельному физическому лицу, а есть и общественные места, которые обычно имеют владельцем юридическое лицо, ну а если физическое, то оно разрешает пользоваться своей собственностью всем желающим.
Возникают ситуации, когда человек приходит со своими делами или запросами, и они могут решаться или так, как и для всех, либо же индивидуально, особенно.
Рассмотрение документов будет произведено в частном порядке!Я попросил пропустить меня к заведующему в частном порядке, как тот и просил.Как видно, в "частном порядке" - это по особенным правилам, отдельно от всех, индивидуально для каждого.

               Подобный фразеологизм или устоявшееся выражение иногда встречается в речи. Примеры:
Мы с тобой решим этот вопрос в частном порядке.
Договоримся о консультации в частном порядке.
Он получил особую услугу в частном порядке.
Обычно так говорят о чем-то, что отделяется, рассматривается как нечто персональное, личное, не общественное.
Слово "частный" подразумевает нечто отделенное от всеобщего, от общественного. Нечто, принадлежащее определенному лицу, не обществу. Выражение "в частном порядке" как раз подразумевает персонализацию, приватность, отделение, обособление. То, что будет осуществляться в частном порядке, будет приватным, не общественным, отделенным, скрытым, рассчитанным только на участников соглашения. Иногда минуя установленные нормативы. Скрытно. Лично, персонально. Тайно, не открыто. Без допуска посторонних, общественности.

Частный может рассматриваться в положении не общий, а индивидуальный или приватный, в зависимости от контента, по определению вне общих правил. Индивидуальными (частными) могут быть занятия с учеником по подготовке его к экзамену,
Он успешно сдал экзамен потому, что с ним занимался репетитор в частном порядке.
Частной приватной может быть беседа как говорят французы "голова к голове" или "лицом к лицу" тет-а-тет/tête-à-tête или консультация врача специалиста.
В виду специфики этого заболевания, пусть его посмотрит психиатр в частном порядке.
Также "частный" может употребляться в официальной документации
С этим предложением нужно обращаться в частном порядке.
Дело было направлено в суд для рассмотрения в частном порядке.

"В частном порядке" - это значит индивидуально, персонально, нестандартно.  Действующие общепринятые порядки и правила здесь могут не действовать. Возможны и допускаются исключения  в угоду частному  лицу.
Это выражение может означать, что какое-то действие требует отдельного рассмотрения, ввиду его исключительности, особенности, оригинальности. 
Для пояснения можно привести примеры предложений с этим выражением:
Тебе лучше обратиться к психотерапевту не официально, а в частном порядке. Ваше заявление требует особого подхода, поэтому мы  рассмотрим его в частном порядке.Из-за сложившихся обстоятельств наша встреча произойдет в частном порядке.

В данной фразе прилагательное "частный" обозначает некое исключение из правила, обособленность.
Антоним (противоположность) этой фразы-"в общем порядке".
То есть, если растолковывать эти фразу простыми словами, то "в общем порядке"-это как обычно, как всегда, по общим правилам.
А "в частном порядке"-это некое отступление от этих правил.
Эта фраза имеет довольно обширное значение, поэтому давайте уточним на примерах.
1 Мальчик получал уроки в частном порядке.
То есть, мы видим что он учился не с общей массой детей, а получал уроки отдельно, персонально.
2 Вопрос этот в компании решали в частном порядке.
То есть, вопрос решали не на общем плановом  собрании, а отдельно собрались для решения именно этого вопроса.
3 Он пришел на приём в частном порядке.
То есть, человек пришел не по общей записи, а был принят на исключительных условиях, по предварительной договоренности или по своему статусу.

Чтобы понять каково значение фразеологизма "В частном порядке", нам надо знать то что такое частный порядок в целом. Частным порядком является тот порядок, который содержит в себе личные договоренности из которых исходят впоследствии частные и индивидуальные условия которые и делают этот порядок в итоге частным, то есть не, таким как то или иное дело проходящее на общих стандартных условиях и которое относится к общему порядку. 
То есть если что-то проходит в частном порядке, то оно проходит по особым правилам. 

Частный порядок - это такой случай, который имеет особые или специфичные характеристики, исключающиеся из общего порядка. А общий порядок , это такой порядок, который рассчитан на основную массу (не обязательно людей). Например есть очередь и каждый должен, что подписать на стенде и например в очереди оказывается низкий человек, и что бы очередь продолжила двигаться нужно в частном порядке опустить стенд, или поднять человека.