Как правильно написать слово насущьный или насущный?
Какое правило есть в русском языке?

Правильно писать НАСУЩНЫЙ. В этом слове есть сочетание -ЩН- в котором не пишется мягкий знак. Похожие сочетания -чк-,-чн-. Буквы Ч и Щ обозначают всегда мягкие непарные звуки, поэтому при написании мягкий знак не используется. Похожие примеры: овощной, хищник, свечка, синичка, вечность.
Обратные сочетания -нч-, -щн- также пишутся без мягкого знака. Например: пончик, гонщик

Насущный. В сочетании щн,чк,нч,нщ,чн,шн никогда не может быть мягкого знака. Примеры: женщина,ручка,дочка,�скворечник,душно,гонщ�ик,заполошный и т.д.