Как правильно сказать "преходит в следующий этап" или "переходит на следующий этап"? Почему? Приведите примеры предложений.

Порой в русском языке сложно определить правильное использование предлогов. Будем смотреть здесь по смыслу.
Этап в данном словосочетании имеет значение "ступень, определённый момент, какая-то стадия процесса". По аналогии со ступенями на лестнице - мы идём по ступеням, поднимаемся на следующую ступень. Так же будет и здесь - "переходит на следующий этап".
Примеры:
Тебе придётся очень постараться, чтобы перейти на следующий этап конкурса.
Мы переходим на следующий этап отношений.
Я вышел на финальный этап соревнований. Но при этом будет: Я вышел в финал.
Поэтому правильное использование данного словосочетания "перейти на следующий этап".

Правильно - на следующий этап.
Примеры:
В этом году производство переходит на следующий этап.
На следующем этапе мы планируем ввести большее количество людей в наше производство.
Планируется повышение количества  средств выделенных на следующий этап.