Как правильно: угарелый" или угорелый?
Какой корень "гор" или "гар"?
УгОрелый или угАрелый?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Слово "уг(о/а)релый" является прилагательным мужского рода и чтобы понять, как пишется "угОрелый" или "угАрелый" - обратимся к правилам русского языка.
В нашем случае с прилагательным "уг(о/а)релый" не работает правило с проверочным словом безударной гласной в корне, не работает чередование корня с суффиксом "а", а вот чередование корня "гор/гар", связанного с ударением  - в самый раз: в безударном корне пишем через "о", под ударением - "а".
Так как корень безударный, то пишем правильно: угОрелый.
Увидев колхозного сторожа, Никита, бросив весь урожай, помчался, как угорелый, что есть силы в сторону деревни.

Правильно - "угорелый".
Тут нет проверочного слова, но зато есть правило: если слог безударный (пригореть, угорелый, загорелый...), то пишется -гор-. Если слог ударный (загар, угарный газ...) - пишется -гар-.