Какое проверочное слово (или слова) к слову "равнодушие"?

Слово «равнодушие» - имя существительное, в котором две безударные гласные могут представлять  сложность в написании.  Это две первые спорные гласные –  «а» и «о».
Первую  гласную «а» легко можно проверить, подобрав однокоренное слово, в котором она стала бы ударной. Таким словом является прилагательное - «рАвный».
Существительное «равнодушие» - это сложное слово, то есть слово с двумя корнями – «равн» и «душ». По правилам русского языка известно, что корни в таких словах могут соединяться с помощью гласных  –   «О» и «Е». Приведем еще примеры сложных слов: «самолет», «лесоповал», «кареглазый» и др. 
В нашем случае  соединительной гласной является «О».
Поэтому пишем слово правильно – «равнодушие».

Проверочные слова необходимы для определения гласной буквы в корнях слов с безударными гласными. В слове "равнодушие" два корня: "равн" и "душ". В данном случае безударная гласная "а" в корне "равн", проверочные слова - равный, равенство и т.д.
Надеюсь ответила достаточно развернуто.