Как решить Многоэтажный или много этажный —как правильно?.

Многоэтажный -это сложное прилагательное, состоящее из двух корней. Первое слово наречие, второе прилагательное. Согласно правилу такие сложные прилагательные следует писать слитно.
Многоэтажный - так правильно.
Мы получили квартиру в многоэтажном доме, в новом районе нашего города.
                                                                              

Многоэтажный т.к произведено от словосочетания " много этажей"
Пример: древнерусский - древняя Русь