Слово "заново" - какая часть речи?
Как правильно пишется слово "заново"?
Примеры предложений.

Рассматриваемое слово относится к наречиям, даже точнее, -- к определительным наречиям образа действия, потому что отвечает на вопрос "как? каким образом?"
Образовано оно от винительного падежа краткого прилагательного среднего рода "ново" (раньше краткие прилагательные в русском языке склонялись) посредством предлога "за", перешедшего в приставку.
На эту приставку и следует обратить внимание для правильного написания этого наречия.
Есть правило в русском языке, регламентирующее писать на конце наречий, произошедших от указанного выше падежа с предлогом "за" (а также с предлогами "в", "на"), гласную  "о", например, влево, наглухо. Заданное наречие правильно писать так: заново.
Несколько примеров-предложений.
Учительнице заново пришлось  объяснять девочке задание по русскому языку.
Героиня романа в одночасье потеряла буквально всё, но она нашла в себе силы начать жизнь заново. 
Заново выкрашенный деревенский дом выглядел очень привлекательно.
И еще один пример, строчки из стихотворения Николая Заболоцкого "Не позволяй душе лениться":
Здесь два наречия,  второе наречие "дотемна", в отличие от первого, пишется с гласной "а" на конце, потому что другая приставка.
                                                                              

Заново (как?) - это наречие, означающее вновь, снова, по-новому, опять.
У данного слова есть разговорный вариант - сызнова.
Примеры предложений:
После тяжёлой аварии, в результате которой Семён повредил обе ноги, ему пришлось заново учиться ходить.Не думала Маша, что заново начнёт изучать английский язык, чтобы сносно общаться в чужой стране.Прочитав текст своего заявления, Анна Михайловна обнаружила в нём несколько орфографических ошибок и решила переписать его заново.Ремонт участка дороги был признан неудовлетворительным, и подрядчика обязали заново провести восстановительные работы.Когда-то нашумевший спектакль был поставлен заново, только теперь в нём принимали участие молодые выпускники Щукинского училища.Депутаты Госдумы заново обратились к ранее отвергнутому проекту строительства метро в сибирском городе-миллионнике.

               Слово "заново" - это наречие образа действия, неизменяемая часть речи, отвечает на вопрос - как? или какими образом? Слово образовано слиянием приставки "за-" и качественного краткого прилагательного "ново".
Наречия, образованные от прилагательных,  пишутся на конце с суффиксом "-о", если в их составе имеется приставка   "за-" (а также "в-" и "на-").  Если стоят приставки  "с-", "из-", "до-" - на конце слова пишется суффикс "-а". Приведем примеры: "набело", "засветло", но "издавна", "справа".
Поэтому пишем наречие правильно - "заново", с суффиксом "-о".
Например, в предложениях: 
После приезда в город нам пришлось заново делать ремонт в квартире. Я заново переписал домашнее задание по математике.