Какой разбор слова "милейший"?
Какой морфемный разбор?

Милейший ребёнок, милейшая девушка... Какой? Какая?.. Обозначен признак предмета, а это значит, что заданное слово является именем прилагательным. Причём оно употреблено в простой превосходной степени. Об этом свидетельствует и суффикс, при помощи которого  образуется такая степень прилагательных -- "-ейш-".
От прилагательного красивый -- красивейший; добрый -- добрейший; мудрый -- мудрейший и милый -- милейший.
Перед суффиксом стоит значимая часть слова, несущая общее лексическое значение, как и в однокоренных словах "миленький, премилый, милочка, милашка, мило". Это корень всех однокоренных слов, в том числе и заданного -- мил-.
Это прилагательное -- изменяемое слово, поэтому легко вычленить изменяемую часть -- окончание -ий.
Вот и все три морфемы прилагательного мил/ейш/ий -- корень/суффикс/оконч�ание; основа -- милейш-.