Каким падежом управляет наречие аналогично? Как правильно писать следующее предложение: "Он аналогично роман(а/у) показывает основные события войны (совет в Филях, Бородинское сражение и т.д.)". Аналогично романа или аналогично роману?

Это наречие, образованное от прилагательного "аналогичный", имеет синонимы, которыми можно воспользоваться для установления верного варианта управления.
Например, слово "подобно": оно требует дательного падежа - думал подобно (кому?) отцу, выполнил подобно (чему?) образцу.
Воспользуемся этой аналогией и получим такие сочетания - думает аналогично (кому?) рассказчику, написал аналогично (чему?) ответу,  аналогично (чему?) роману.