Как это решить Как правильно: по-чеховски или по чеховски?.

Слово "по-чеховски" отвечает на вопрос как? и является наречием. Сложность в написании "по", слитно или через дефис.
По правилу, если слово заканчивается на:ски, цки, ьи, образованно от полного прилагательного, имеет предлог "по", перешедший в приставку, то правильно писать слово через дефис.
Молодая актриса играла в новой пьсе тонко и талантливо по-чеховски

Правильно писать с тире и маленькой буквой "по-чеховски".