Слова с 6 и 7 разных гласных должны быть из словарей. С 8, 9, 10, – можно использовать другие части речи, а также новые, самостоятельно сконструированные слова, созданные по правилам русского языка или, по крайней мере, явно им не противоречащие, но без дефисов. Другими словами, разумное творчество допустимо.

Электромиография (э,е,о,и,а,я) - здесь 6 штук. Сама электромиография - что-то вроде УЗИ (но не узи, здесь не ультразвук, другой принцип) для периферических мышц и нервов.
Вообще медицинские слова хорошо подходят, там сочетание нескольких корней, получаются слова длинные - и в некоторых из них много разных гласных:
Микроэнцефалометрия (и,о,э,е,а,я) - 6 штук, само слово означает измерение микроструктур мозга.
Гемотрансфузиология (е,о,а,у,и,я) - 6 штук, гемотрансфузиология изучает переливание крови и все, с ним связанное.
Но есть и "немедицинские" слова с шестью разными гласными: клятвопреступница (я,о,е,у,и,а).
Семь разных гласных встречаются в слове электрокардиостимуля�тор (э,е,о,а,и,у,я) и электросубкортикогра�фия (э,е,о,у,и,а,я).
                                                                              

Русский язык, как говаривал классик, велик и могуч, но сильно уступает немецкому языке по длине слов, которые могут быть образованы по всем правилам языка.
Хотя длинные слова, да еще с разными буквами встречаются и у нас. Добавлю к предыдущим ответам.
Забулдыжничество- 6 разных гласных.
Благоденствующий- 6 разных гласных.
Бумагопрядильный- 6 разных гласных.
Четырёхугольник- 6 разных гласных.
Четырёхполюсник- 6 разных гласных.
Четырёхдюймовка- 6 разных гласных.
Гидроэлектростанция- 6 разных гласных.
Радионуклеиды- 6 разных гласных.
Эрудированная- 6 разных гласных.
Электроакустика- 7 разных гласных.
Энергопульсация- 7 разных гласных.

Заданьице выдали шикарнейшее, ведь нужно не просто найти слова  длинные, но и подобрать их таким способом, чтобы счет гласных отвечал поставленным условиям. Хорошо, что нет ограничения на  имена существительные, так как это очень осложнило бы выполнение.
Например, возьмем слово, которое мы часто использовали на юрфаке:  взаимозаменяемый. Еще небольшие юридические термины: удостоверяющий и узкоспециализированн�ый. 
С окончаниями можно играться и составлять (добавляя нужные гласные) словечки. Например: "эротический" нам не подходит, но "эротическая" - уже органично вписывается в наши условия. 
Разбавим существительными: электрокардиография, электростанция, электропаяльник,
И мое любимое: автоэлектростеклопод�ъёмник. Правда, первые четыре буквы  добавляются не всегда, поэтому с запасного аэродрома добавлю:  энергопульсация.

Энергопульсация- эеоуаия 7 *
СЕМЬ разных гласных:
электрокоагуляция эеоауяи=7
лесоэксплуатация еоэуаия=7
мегаэволюция еаэоюия=7 
музыкотерапия уыоеаия=7
экзаменующийся эаеуюия=7
подтушёвывание оуёыаие=7
полусвязывание оуяыаие=7▫
(медицинские)↓
адаптоэлектроокулография аоэеуия=7
аутонефрэктомия ауоеэия=7
Векторэлектроокулография еоэуаия=7
панкреатодуоденэктомия аеаоэия=7
подтушёвывание оуёыаие=7
полусвязывание оуяыаие=7
Макроэволюция=7
Восемь разных гласных
глубоковрезывающимися=8
"Ледовитый океан со своими глубоковрезывающимися заливами..." (существительное)Ключевский. Восьмидесятичетырёхдюймовка
оиеяыёюа=8.
девять разных гласных: двухсотвосьмидесятичетырёхдюймовка » уоиеяыёюа=9, в просторечии... Теоретически, трубы, кольца с таким размером могут быть.
десять разных гласных:
стопятидесятичетырёхэкранную=ояиеыёэаую=10 ...
пятисотдвадцатичетырёхэрную=яиоаеыёэую=10  « За всё пятисотдвадцатичетырёхэрную историю разумные существа планеты Картлис так и не смогли познать себя»

В русском языке слов с большим содержанием гласных довольно много. Чаще всего это составные слова, где есть соединительная буква "О" или "А".
Высокоблагородие, высокопреосвященство�, радиационнонуклиинов�ая, аммиакосодержащая.
Реконструированная, революционная, индустриализационный�.
Большее количество букв можно получить в словах, если использовать возможность русского языка для создания сложных составных слов или же если берем длинные существительные и превращаем их в прилагательные.
Писать длинный список из орфографических словарей русского языка не буду. Дам возможность ответить и другим авторам.

электросубкортикография (э,е,о,у,и,а,я).
Гемотрансфузиология (е,о,а,у,и,я) - 6 штук