Какой разбор слова заискивающе?
Какой морфемный разбор?

От глагола "заискивать" было образовано причастие "заискивающий" (действительное  настоящего времени) при помощи суффикса "-ющ-", а уже от него образовано слово "заискивающе", которое и требуется разобрать по составу.
Это слово относится к наречиям, в предложении является обстоятельством.
Корень в этом наречии, как и в вышеназванных однокоренных глаголе и причастии, -- заиск-.
Есть и суффиксы -- первый остался от глагола, второй -- суффикс причастия: -ива- и -ющ-.
Как известно, наречие -- неизменяемая часть речи. Заданное наречие образовано от причастия и имеет суффикс -е.
Суффикс и есть конечная часть слова, а окончания у наречий нет. Основа этого наречия (без формообразующего суффикса) -- заискива...е.
Девушка беспомощно улыбнулась и посмотрела на меня  несколько заискивающе.
                                                                              

Заиск - корень
Заискива - основа слова
ива, ющ - суффиксы
ий - окончание
Форма глагола отвечает на вопрос: "Что делать?" - Заискивать.
Единственное число, мужской род, настоящее время, изъявительное наклонение, причастие.