Как это решить Как просклонять фамилию "Арутюнян"?.

Для женского рода фамилия не склоняется по падежам.
Для мужского рода фамилия будет склоняться таким образом:
Именительный: Арутюнян Анатолий Титомирович
Родительный: Арутюняна Анатолия Титомировича
Дательный: Арутюняну Анатолию Титомировичу
Винительный: Арутюняна Анатолия Титомировича
Творительный: Арутюняном Анатолием Титомировичем
Предложный: Арутюняне Анатолии Титомировиче.