Какое лексическое значение имеют оба слова? Являются ли они синонимами?

войско от слова война или воин, от слова вой/бой. группа или отряд для военных действий, война - раздор или ратный бой между г-вами.
Армия - это организация войска. Вооруженные единицы войска. Солдаты, техника, коммандование и тд. Арм - рука или оружие. Армия - люди с оружием, вооруженная группа.
Войско и воин, война - это больше о духовной/идеологичес�кой сфере. Например, бойцов на ринге тоже могут называть воины. Во многом это рииуал оставшийся со времен сражений прошлого, когда сражались лучшие воины перед битвой. То есть война как это состязание.
Армия, оружие, солдаты(от солдиер - наемники) - это про материально-техническую реализацию. Армия - это про сферы влияния корпораций, так как участники - наемники. Армия появилась где-то в 17-18 веке. Террористические группировки - это маленькие армии, а не войска. Также армией можно назвать группу бандитов.
Солдаты-удачи, воины-чести/духа.
Цель воина - победить.
Цель солдата - выжить.
                                                                              

Войско - это историческое название армии.
Армия - историческое название вооруженных сил.
Еще более старое название - "вои", от которого происходит слово "войско", родственно слову "воин" - от славянских языков.
"Армия" с латинского "вооружать", заимствовано с немецкого или французского.
Все эти термины означают вооруженное формирование. Являются синонимами.