Как грамотно сформулировать, например, такую фразу: "Какие птицы и животные питаются корнями одуванчика?"
Если в ней есть ошибки, то какие?

С точки зрения русского языка в приведённом словосочетании "Птицы и животные" содержится стилистическая ошибка, плеоназм, переходящий в тавтологию. Птицы - это животные, и с логической точки зрения в данной конструкции безобоснованно повторяются близкие по смыслу слова, получается: "животные и животные".
Чтобы предложение с вопросом о потребителях корней одуванчика стало недвусмысленным, следует сделать уточнение, какие именно животные имеются в виду. Оно может стать таким: "Какие птицы и другие животные питаются корнями одуванчика?" или выглядеть так: "Какие птицы и другие виды животных питаются корнями одуванчика?"
                                                                              

Да, с позиции правил современного русского языка, говорить так не рекомендуется, хотя в просторечии и допустимо. Тем не менее, в литературе и даже в современных учебных пособиях сочетание этих слов встречается не редко. В интернете можно найти примеры.
К животным относят практически всё живое кроме растений. Однако надо признать, что в таком случае и выражение "люди и животные" также будет неверным, так как вид Homo sapiens, по научной классификации, относится к царству животных. Кстати также как пауки, тараканы и блохи.
Между прочим, в тексте не одна, а две ошибки, «птицы и животные» словосочетанием не является.

Если в словосочетании на первом месте упомянут один из классов животных (в нашем случае "птицы"), то после "и" правильно было бы назвать какой-либо другой класс животных из имеющихся восьми. Например, "млекопитающие".
В результате получим выражение "птицы и млекопитающие". Так будет правильно.

если Вы упомянули птиц в своем предложении то правильнее конечно в данном словосочетании указать
либо конкретные виды животных, так как один из видов птицы уже указан, либо просто применить в
словосочетании слово другие животные. Тогда предложение будет выглядеть правильно, то есть птицы
и другие животные.

Птицы - это тоже животные, всё это фауна, в отличии от флоры - растений. Потому такое перечисление неверное.
Вопрос можно сформулировать как-то так:
"Какие животные (а среди них и птицы) питаются корнями одуванчика?"

Птицы - это часть животных (род или вид - уже точно не скажу)). Ж
ивотные - это фауна! Это более общее значение, которое включает и птиц.
Можно вставить некоторые слова между "птицами" и "животными", если речь идет про одно словосочетание. Это будет более уместно.
Например:"Какие птицы и остальные животные питаются корнями одуванчика?"
Или:"Какие животные, а именно птицы, питаются корнями одуванчика?"
Все эти тонкости написания текстов, предложений приходят с годами. Конечно, если эти годы шла постоянная тренировка подобных навыков