Как правильно: разыгранный или разыграный?
С одной Н или с двумя НН?
РазыграННый или разыграНый?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Раз-ыгр-а-нн-ый� - какой?, страдательное причастие прошедшего времени. Правило. У полных страдательных причастий прош. вр. пишется  в суффиксе -НН-, у кратких Н. Формальный признак НН, если есть приставка и зависимое слово.
Например: исследовать - исследованный(какой?�) - исследован(каков?)
прочитать - прочтённый - прочтён, решить - решённая - решён
расписать - расписанный художником холст.
Итак, в полных  страдательных причастиях прошедшего времени ВСЕГДА в суффиксе НН.
Трудность в том, что в однокоренных прилагательных пишется Н
(что делать?) квасить — квашеная(прилагатель�ное) капуста  — квашенная(причастие) в бочке капуста;
(что делать?) морозить — мороженая(прилагател�ьное) рыба — мороженная(причастие�) в рефрижераторе рыба;
(что делать?) сушить — сушеные(прилагательн�ое) травы — сушенные(причастие)
на чердаке травы.
Почему? Появилось зависимое слово и прилагательное перешло в разряд причастий.
Это нужно всегда иметь в виду. Уметь отличать прилагательное от причастия.