Как правильно пишется: "по итальянски", "по-итальянски"?
Как пишется: "по итальянскому" или "по-итальянскому"?
Когда пишется "по итальянскому" и когда "по-итальянски"?
"По-итальянски" писать с дефисом?
"По итальянскому" писать раздельно?

Выбор между 4 вариантами - "по-итальянски", "по итальянскому", "по итальянски" и "по-итальянскому" - производится таким образом:
1) "По-итальянски" - правильно. Слово "по-итальянски" - это наречие. Означает оно "как у итальянцев, на итальянском языке, как в Италии". Например: "Она выглядела по-итальянски".
2) "По итальянски" - неправильный вариант. "По-итальянски" писать правильнее.
3) "По-итальянскому" - некорректный вариант. "По-итальянски" писать правильнее.
4) "По итальянскому" - правильно. Например: "Они хотели стать специалистами по итальянскому языку". Сочетание "по итальянскому" - это имя прилагательное "итальянский" с предлогом "по". "Сочетание "по итальянскому" пишется раздельно.