Как правильно пишется: "не мелкий" или "немелкий"?
Слитно с "не" или раздельно?
Какие правила?
Примеры предложений.

Возможно двоякое написание - и слитное, и раздельное.
В первом случае пишем слитно, когда от прилагательного "мелкий" образуем слово с противоположным значением, добавив приставку НЕ: мелкий - немелкий (можно заменить его синонимом "глубокий").
Пример предложения:
Иван, намётанным взглядом определив, что пруд немелкий, купаться в нём не рискнул. Теперь рассмотрим второй случай. Слово "мелкий" с отрицательной частицей НЕ пишем раздельно, если в предложении присутствует противопоставление с союзом "а":
Врач отметил, что когда пациент брал правой травмированной рукой не мелкий, а более крупный предмет, нарушение двигательной функции было едва заметно.Помимо этого, раздельное написание положено, если в предложении есть слова "далеко", "отнюдь", "вовсе":
Кто верит, что он - отнюдь не мелкий винтик в системе, тот много пользы может принести обществу.                                                                              

Слово "мелкий" - это прилагательное, обозначает постоянный признак предмета и отвечает на вопрос - какой?
Пишется слово с "не" слитно и раздельно - по известным правилам для этой части речи.
Если "не" служит приставкой для образование слова, к которому есть такие синонимы, как "крупный", "значительный", тогда пишем слово слитно - "немелкий".
Пример предложения:
Для супа я всегда использую немелкую перловую крупу. Когда "не" - частица, отрицающая положительный признак предмета, и в предложении есть противопоставление с союзом "а" или усиление отрицания в виде наречий "вовсе", "отнюдь", "далеко", тогда пишем в два слова - "не мелкий".
Примеры:
Корм для кота оказался не мелким, а довольно крупным. На этих обоях вовсе не мелкий рисунок.

О слитном написании слова «немелкий». Удивительное слово! В орфографических словарях оно присутствует, куда ни посмотри, а вот в толковых словарях никак не находится: ни у Ефремовой, ни у Кузнецова. В Нацкорпусе его тоже нет, да и на других ресурсах с примерами из художественной литературы не видно.
А вот в особенном значении оно встречается: немелкий корм, немелкая заделка семян. Или вот еще при описании внешности: немелкий рост, немелкий мужчина.
Специальное или нестандартное употребление слова в утвердительном значении — такой можно сделать вывод. А вот форма «не мелкий» встречается в текстах.
Почему же так редко используется слово? Вероятно, в нем нет потребности. Рассмотрим ряд: глубокий — неглубокий — не глубокий и не мелкий — (немелкий) - мелкий. Этих слов вполне хватает, чтобы описать глубину чего-л.