Укажите группу, в которой есть слово (словосочетание), которое может быть как вводной конструкцией, так и членом предложения. Выпишите это слово (словосочетание).

Я склоняюсь к тому, что во второй группе присутствуют слова, которые могут быть и вводным словом, и членом предложения.
Рассмотрим перечисленные слова и словосочетания из этой группы.
Слово "вдруг" является только наречием и ничем иным.
"Короче говоря" - вводная конструкция.
"К тому же" - это наречие (можно заменить другим наречием "также").
"Авось" - вводное слово (разговорн.)
"Между тем" - это вводное слово (означает "кстати"), например:
Шквалистый ветер, между тем, продолжал усиливаться, небо потемнело, в воздухе запахло грозой.Но "между тем" может являться и членом предложения, например:
Между тем преступлением и этим большая разница.В данном случае мы имеем дело с определением "тем", выраженным указательным местоимением "то" в творительном падеже с предлогом "между" (каким преступлением? тем).