Правил русского языка совсем не знаю, но т.к. дислексией не страдаю, то пишу всегда в соответствии с ощущением правильности и почти всегда попадаю. Диктанты и изложения в школе я всегда писала на 5 и имею диплом за 3 место в городском конкурсе сочинений.
Но иногда и у меня возникают сомнения. Без отрицания воспринимается вполне правильной фраза "Он имеет развитый ум" и абсолютно неправильной фраза "Он имеет развитого ума".
Но почему-то с отрицанием у меня возникает нездровыый позыв изменить падеж и написать "Он не имеет развитого ума". Т.е. вопрос к предложению кажется более правильным не "Он не имеет что?", а "Он не имеет чего?".
Ответ нужен в течение 14 часов, иначе не смогу исправить свой последний ответ в многозвёздном вопросе (не потому что мечтаю о ЛО, а просто когда вижу свои ошибки, то не оставляю их, если возможно).

Я думаю так: если человек чего-то не имеет, то у него этого нет.
Значит, словосочетание "Герасим не имеет" можно заменить на словосочетание "у Герасима нет".
А к слову "нет" напрашивается вопрос "чего?".
Нет чего? - развитого ума.
Получается, что правильно - Герасим не имеет развитого ума.
Лично я бы заменила это предложение на такое:
У Герасима неразвитый ум.
Или так: неразвитый ум Герасима (далее по тексту).