Почему именно та буква, а не другая?

Представлен глагол в форме прошедшего времени (отвечает на вопрос "что сделали?").
Образован же этот глагол от основы неопределенной формы глагола "возненавидеть" прибавлением суффикса "-л" и окончания, указывающего число его (множественное).
В неопределенной форме перед "-ть" пишется суффикс "-е", что легко проверить по словарям орфографическим.
Так как прошедшее время образовано от неопределенной формы глагола, то перед суффиксом "-л" нужно писать тот же суффикс, который пишется в основе неопределенной форме, например, обидеть - обидел, ворочаться - ворочался, надеяться - надеялась, видеться - виделись.
Вот и в заданном слове  правильно написать пропущенную гласную "е" -- возненавидели.
Максим не мог понять, за что его возненавидели друзья.
                                                                              

Тут явно имеется в виду форма прошелшего времени множественного числа от глагола "возненавидеть". Основооформляющий суффикс -е-, который находится перед -ть, сохраняется также и перед суффиксом прошедшего времени -л-.
Слово "ненавидеть" является словарным, и эта гласная запоминается.