Как правильно пишется слово, "мечта", "мичта" или "мечьта"?

В достаточно коротком ( всего пять букв ) имени существительном мечта, если постараться, можно допустить две орфографических ошибки.
Во-первых, в первом безударном слоге можно написать гласную е, а можно и. К сожаление, подобрать проверочное слово, в котором данная гласная будет стоять под ударением, не получится. Эта орфограмма является безударной гласной в корне слова, непроверяемой ударением.
Мечта - это словарное слово, орфографию которого нужно запомнить.
Также в корне слова можно допустить еще одну ошибку. Шипящая согласная ч всегда мягкая, поэтому после нее перед следующей согласной хочется поставить мягкий знак. Но в данном случае в сочетании букв -чт- он не нужен.
                                                                              

Слово мечта является существенным.
Сложность с этим словом в том, что его надо проверять множественным числом в родительном падеже. Это будет слово 'мечт'. Тоже без мягкого знака в конце. Чего-мечт. Так и получается в корне слова буква е.
Вами предложено три варианта написания слова мечта:
мечта;мичта;мечьта.Правильный вариант: мечта.
В этом слове две орфограммы.
Первая с безударной гласной в корне, это буква "е".
Вторая, это мягкий знак, который так и напрашивается, но его нет.
А лучше всего это слово просто запомнить. А если сомневаетесь, то вспоминаем: мечта-мечт, и вопросы пропадают. А мягкий знак в сочетании буквы "ч" с согласной "т" не пишется.

В данном слове невооружённым глазом видны две орфограммы: это непроверяемая безударная гласная в корне и употребление мягкого знака для обозначения мягкости согласной.
Казалось бы, можно поставить слово "мечта" (единственного числа) в родительный падеж (множественного числа), и непроверяемая безударная гласная в корне станет проверяемой...
Однако,
Из чего можно сделать вывод: правописание данного слова необходимо запомнить, оно является словарным.
Правильно: мечта.
Неправильно: мичта.
Что касается мягкого знака, даже если очень хочется поставить его в корне после согласной буквы "ч", - нужно запомнить правило:
Из чего можно сделать вывод:
Правильно: мечта.
Неправильно: мечьта.

В переводе с греческого языка слово «орфограмма» - это «правильная буква». То есть, орфограмма  слова  «мечта»  - это есть правильное  написания  букв в слове,  согласно известным правилам.
В слове мечта такая спорная буква – это первая гласная «Е». Ее можно проверить, поставив слово в форму  родительного падежа множественного числа – чего? – «мечт», в котором гласная оказывается под ударением. 
Сомнение может возникнуть по части написания мягкого знака после мягкой же согласной «ч» в середине слова. На это есть свое  правило: внутри буквосочетания «чт» мягкий знак не ставится. (также и сочетаний «чн», «чк»,  «щн», «нщ», «нч»).