Как решить Движится или движется, движит или движет – как правильно?.

Постфикс "-ся" никак не влияет на написание окончания глагола, стоящего в личной форме. Поэтому его можно отбросить и рассматривать глагол "движе(и?)т".
Начальная (неопределенная) форма глагола - что делать? - "двигать". Глагол заканчивается на "-ать", а значит он первого спряжения.
В форме третьего лица, единственного числа, настоящего времени следует писать в глаголе первого спряжения окончание "-ет" - что делает? - "движется". Точно так же, с этим окончание пишем и глагол возвратной форме - что делается? - "движется".
Приведем примеры предложений:
Мной движет одно желание - помочь тебе в трудную минуту. Машина движется по кольцевой дороге со скоростью 90 километров в час.                                                                              

Всегда правильный один вариант написания: движется, движет