Понятно, что эти глаголы - синонимы. Но все-таки между ними есть различия. Какие? В каких случаях чаще употребляется тот или другой глагол и почему?

Эти слова  могут различаться по стилю и по семантике.
Более нейтральным является слово «закончить». В толковом словаре Кузнецова оно определяется следующим образом:
ЗАКОНЧИТЬ,  св. что и с инф. Доводить до конца; оканчивать, завершать. З. умываться. З. письмо. З. учёбу.
Слово «завершить» имеет определенные семантические особенности:
ЗАВЕРШИТЬ, - св. что. 1. Закончить какое-л. сооружение, заделав его ВЕРХ. З. скирд. 2. Довести до ПОЛНОГО окончания; закончить. З. план, работу, исследование. З. сев.
И хотя кажется, что семантика глаголов во многом совпадает, в действительности область применения слов различается в большей степени.
Глагол «завершать» используется, когда говорится о чем-либо большом, значительном (из словаря Ефремовой). В Викисловаре подчеркивается  книжный, риторический стиль слова. И как обычно, книжная риторика и высокий стиль могут иметь ироническое значение.
Примеры: Успешно завершить начатое исследование, завершить разгром врага, завершить трилогию, завершить отделку дома.
В седьмой день Бог завершил работу Свою (высок.)
А вот примеры из спорта (нейтр. стиль): завершил спортивную карьеру, завершил атаку голом.
Завтрак он завершил в одиночестве, она так и не вернулась (иронич.).

"Завершить" с одной стороны означает преодолеть вершину, преодолеть пик, то есть, перевалить через него, перейти ко второй половине.
Например, завершается такая-то стройка, хотя она ещё и идёт.
Но с другой стороны, "вершить" - это совершать, действовать, следовательно, "завершить" - это прекратить действовать.
Например, планируется завершить стройку к такому-то сроку.
"Закончить" означает перейти через окончание, то есть, более уже ничего не будет.
Например, автор закончил написание романа.
Таким образом, резюмируя, я бы сказал так.
Если нужно подчеркнуть, что некий важный процесс прекратит, или уже прекратил своё функционирование, то можно применять слова "завершается" или "завершился". Тут даже есть и другое близкое понятие "свершился", применяемое, как более торжественный, ожидаемый и наконец-то произошедший некий важный процесс.
Если же нужно подчеркнуть, что некий процесс  приходит, или пришёл к своему окончанию (тут не столько важен сам этот процесс, как таковой, как функционал, что было в первом примере, а важен именно факт его окончания), то можно применять слова "заканчивается", или "закончился".
ИМХО

эти два слова, вернее их значения несомненно имеют похожую смысловую нагрузку. Там где мы говорим завершить работу, мы так же можем сказать закончить работу. Завершить - выполнить что-то. Закончить употребить в смысле покончить с этим. А вот наоборот тут уже надо смотреть по смыслу сказанного. Например сказав я закончил университет можно, а вот завершить сказать уже нельзя. Завершить учебу в университете - можно. Завершить университет - нельзя.