Как это решить Какие есть фразеологизмы с деепричастными оборотами?.

С любым фразеологизмом можно составить предложение. Чтобы получилось предложение с деепричастным оборотом нужно использовать фразеологизм с деепричастиями. Примером может служить следующие предложения:
Класс слушал объяснения учителя по новой теме затаив дыхание.
Чтобы спасти друга, упавшего в реку, мальчик бежал за спасателями сломя голову.
Последний рабочий день перед отпуском Вася трудился спустя рукава.
Врачи всю ночь дежурили у тяжело больного пациента не смыкая глаз.
Не помня себя от радости, Маша бежала домой, сдав экзамен на отлично.
Петя, не долго думая, залез на дерево от злой собаки.

Из фразеологизмов с деепричастными оборотами мне вспомнились "сломя голову" (в сочетании с глаголом "бежать" означает "очень быстро"), "спустя рукава" (в сочетании с глаголом "работать" означает "небрежно, лениво, недобросовестно"), "засучив рукава" (антоним "спустя рукава"), "несолоно хлебавши" (означает "обманувшись в своих надеждах").