Исправить грамматические ошибки и указать их тип в предложении: "Глядя на эту ветку, мне вспомнилась молодость". Как объяснить построение этого предложения?

В это предложении есть грубая грамматическая ошибка, суть которой отражена в одном из рассказов А. Чехова, где недовольный и неграмотный пассажир поезда оставил в книге жалоб такую запись.
Грамматическая ошибка в предложении к вопросу основана на неверном употреблении деепричастного оборота. Иногда говорят о несогласованном деепричастном обороте, хотя это не совсем верно, поскольку речь идёт не о согласовании, а об управлении или примыкании.
Как известно, деепричастие и деепричастный оборот обозначают добавочное действие предмета.
Смотрим на наше предложение. Начнём с той части, что не вызывает сложностей - мне вспомнилась (сказуемое) молодость (подлежащее). Добавочного действия у сказуемого нет: не может же здесь молодость ещё и глядеть. Следовательно, предложение нужно перестроить.
Варианты:
сложноподчинённое - Когда я глядел на эту ветку, мне вспомнилась молодость;изменение грамматической основы - Глядя на эту ветку, я вспомнил молодость.Для сведения: грамматическими являются ошибки, связанные с неверным словообразованием, с ошибочным строением словосочетаний и предложений.
                                                                              

Это пример типичной анаколуфии. Очень часто ею страдают видеоблогеры, а в Интернете каждый пятый в комментариях допускает эту весьма распространённую ошибку. Они буквально пропускают множество других слов в предложении, в итоге суть высказывания остаётся неясна, либо её сложно понять, так как там несогласованно абсолютно всё.
В школе учителя часто приводили вот такой пример анаколуфа:
Кажется, будто это шляпа гуляла по улице, а потом слетела. В примере не совсем ошибка, а больше юмористическое изображение человека, его привычки говорить и писать.
И вот ещё пример из повести «Собачье сердце» М. Булгакова:
Слышится, будто это вопрос стоял на доме. Сразу становится ясно, что писатель с помощью художественного приёма показывает низкий уровень культуры Швондера и его товарищей. Анаколуф подошёл для этой цели как нельзя кстати.
В примере про ветку и молодость имеет место быть синтаксическая несогласованность членов предложения. Автор фразы не заметил ошибку, либо допустил её намеренно. Обычно так делают в художественных произведениях, чтобы лучше раскрыть характер героя, уровень его грамотности, начитанности. Часто анаколуф как приём используется в сатирических романах, пародиях или в стихах. С его помощью легче высмеять какого-то героя, показать его культуру, особенно, если у него есть реальный прототип, который часто выражает мысль неправильно.
Фраза про ветку и молодость не просто имеет грамматическую ошибку, она вообще построена как попало. Если предложение с деепричастным оборотом не является частью высказывания литературного героя, если ошибка допущена не для того, чтобы лучше раскрыть персонажа, то лучше добавить местоимение. Получится вот так:
Кстати, помните фильм «Как я провёл этим летом»? Название кинокартины считается анаколуфом. По сюжету один из героев произносит фразу про сочинение именно так, абсолютно неверно. Но эти грамматические ошибки в окончаниях допущены специально, чтобы показать, насколько персонаж простой, наивный, из обычного народа, немного глуповатый и недалёкий, пусть даже и старше своего напарника. Он допускает ошибки при произношении, хотя работает метеорологом на полярной станции. Зрители сразу задаются вопросом, кто же такого малообразованного человека на это место устроил. Работа ведь не простая, очень важная, но при этом тяжёлая. А тут такой простак допускает оплошности. Авторы картины высмеивают героя в определённых моментах именно с помощью анаколуфа.

Здесь ошибка в несогласованности подлежащего в основном предложении и в деепричастном обороте. В деепричастном обороте "Глядя на эту ветку" подлежащее к которому это относится - Я. Значит в основном предложении может говориться лишь о том, что делаю Я. А выражение "мне вспомнилось" - безличностное. Значит предложения не согласованы по общему подлежащему.
Исправленный вариант: "Глядя на эту ветку, я вспомнил молодость, когда точно такой же веткой с колючками меня очень больно выпороли за то, что ленился учить русский язык и, кстати, потому я до сих пор часто путаюсь в написании окончаний -ться/-тся в своих безграмотных ответах на сайте БВ."

Грамматических ошибок нет. В данном предложении ошибка в стилистике, в употреблении деепричастного оборота. Скорее правильно так: "Глядя на эту ветку, я вспомнил свою молодость".