(1) Летом 1855 года, ко времени моего возвращения в Петербург, во всех слоях столичного общества происходило оживлённое обсуждение политических вопросов.
(2) Следует ли спешить с заключением мира или, наоборот, продолжать войну?
(3) Весь промышленный и финансовый мир стоял за скорейшее заключение мира, в военных и патриотических кругах преобладало мнение о продолжении войны.
(4) В правительственных сферах, однако же, стремление к миру одержало верх, и князь Орлов был послан на Парижскую конференцию.
(5) В начале осени я приехал к себе в деревню, где имел счастье встретить моего уже трёхлетнего сына здоровым и невредимым.
(6) С необыкновенной любовью и самоотвержением вырастила его Екатерина Михайловна Кареева, достойная воспитательница моей жены.
(7) С наступлением первых признаков весны 1856 года я поспешил вернуться в Петербург: там у меня было много дЕла.
(8)Мирные переговоры в Париже уже шли к концу, но ни о каких реформах ещё не было слуху.
По какому правилу пунктуации ставятся запятые?

Чтобы выяснить, где запятые ставятся в соответствии с одним и тем же правилом пунктуации русского языка, проанализируем приведенные примеры предложений.
1.Летом 1855 года, (когда именно?) ко времени моего возвращения в Петербург, в военных и патриотических кругах происходило оживлённое обсуждение политических вопросов.
В этом предложении запятые выделяют уточняющее обстоятельство.
2.Следует ли спешить с заключением мира или,наоборот, продолжать войну?
Во втором предложении запятые выделяют вводное слово "наоборот".
3.Весь промышленный и финансовый мир стоял за скорейшее заключение мира, в военных и патриотических кругах преобладало мнение за за продолжение войны.
В этом бессоюзном предложении запятая отделяет одно простое предложение от другого.
4.В правительственных сферах, однако же, стремление к миру одержало верх, и князь Орлов был послан на Парижскую конференцию.
А здесь "однако же" подчеркивает противопоставление тому, о чем говорилось ранее и равнозначно по значению сочетанию "тем не менее". Это вводное слово, как и во втором предложении.
5.В начале осени я приехал к себе в деревню, где имел счастье встретить своего трехлетнего сына здоровым и невредимым.
Запятая отделяет главное предложение от придаточной части в составе сложноподчиненного предложения.
6.С необъятной любовью и самоотвержением вырастила его Екатерина Михайловна Кареева, (кто такая?) достойная воспитательница моей жены.
В этом предложении "воспитательница" - это приложение с зависимыми словами.
7.С наступлением первых признаков весны 1856 года я поспешил вернуться в Петербург: там у меня было много Дела.
Двоеточие ставится между простыми предложениями в составе бессоюзного сложного предложения.
8.Мирные переговоры в Париже уже шли к концу, но ни о каких реформах ещё не было ни слуху ни духу.
В этом сложносочиненном предложении запятая ставится перед союзом "но".
Итак, во втором и четвертом предложении запятые выделяют вводные слова по одному правилу пунктуации.
Правильный ответ: 2, 4