Как правильно писать слово?
С одной Н или двумя НН?
Какое правило русского языка применимо?

Чтобы ответить на этот вопрос, сделаем разбор слова «казнённый» по составу (или же еще и называется морфемный разбор). При разборе видим, что это  изменяемое слово, следовательно, окончание-ый. Находим основу –казнённ. А корнем в данном слове является – казн. Наконец, найдём суффикс – ённ.  Теперь можно сделать ввод: «казнённый» - полное страдательное причастие прошедшего времени (образованное от глагола на –ить: казнить). Здесь применяется правило русского языка "Правописание -Н или -НН в причастиях", Поэтому в суффиксе пишутся две буквы –нн. [если причастие употребляется в краткой форме ( казнеН, казнеНа, казнеНо), то пишется одна буква –н.]. Поэтому, будет такой ответ: Правильный вариант написания слова – казнённый, то есть с двумя буквами –н: казнёННый.
                                                                              

Слово «казненный» - может быть как отглагольным прилагательным, так и страдательным причастием прошедшего времени. Оба слова образованы от бесприставочного глагола – «казнить».
Казалось бы, такие отглагольные прилагательные, должны писаться с одним «Н», как например: «вареный суп», «леченый больной».
Но глагол «казнить» - особый глагол  -  это,  так называемый,  двувидовый глагол,  совмещающий значение совершенного и несовершенного вида.
Смотрим таблицу:
Прилагательные и причастия, образованные от этих глаголов по правилам орфографии – пишутся с суффиксом «ЕНН», то есть, с двумя «НН». Например: «рожденный», «обещанный» и т. д.
Согласно вышеуказанному правилу и прилагательное, и причастие, образованное от глагола «казнить»,  будем писать с двумя «НН» - «казненный». Например: «казненный пленный», «казненный в сказке король».

Правило следующее - в страдательных причастиях прошедшего времени в суффиксах -енн, пишется удвоенная "н".
Рассмотрим слово "казненный". Это страдательное причастие прошедшего времени. Если разобрать слово по составу, то казн- это корень, -енн суффикс и окончание -ый. Согласно вышеуказанному правилу, в страдательном причастии прошедшего времени "казненный", в суффиксе надо писать две буквы "н".
Вывод: слово "казненный" пишется с двумя "н".