Как правильно писать слово?
Пишем одну Н или две?
Обоснуйте.
Как определить в каком случае пишем Н, а в каком НН?

Для начала надо определить, какой частью речи является данное слово, так как от этого зависит и его написание. Тут есть два варианта.
Задаем вопрос - чем? - ценою. Пример: Это был товар с довольно высокой ценою. Здесь слово является существительным (именительный падеж - цена). Корень у него цен- и окончание -а. Поэтому пишем его с одной буквой Н.
Другой вариант. Задаем вопрос - какой? - ценною. Пример: Друг поделился с нами ценною информацией. Здесь это слово уже является прилагательным (именительный падеж - ценная). Посмотрим на состав слова. Корень будет прежний -цен-, далее следует очень распространенный суффикс прилагательных -н- и окончание -ая. Так что в данном случае пишем две буквы Н. Одна от корня, вторая - от суффикса.
Эти слова являются однокоренными, но все же это разные слова и разные части речи. Поэтому оба написания имеют место, зависит от того, какое слово имеется в виду.